CF1778D Flexible String Revisit

题目大意

给出两个长度均为$n$的01序列$S$和$T$，每次随机将$S$中的某一位取反，求第一次$S=T$时期望的操作次数。

有多组数据。

题解

因为是随机取反的，所以我们只需要知道$S$和$T$中相等的位的数量和不相等的位的数量。

设$f_i$表示未匹配的位的数量为$i$，翻转序列$S$中不匹配的位置的期望操作次数。

考虑转移。每次有$\frac{i}{n}$的概率旋转一个不匹配的字符，有$\frac{n-i}{n}$的概率翻转一个已匹配的字符。翻转已匹配的字符后需要$f_{i+1}$的期望操作次数才能回到当前状态，然后还需要$f_i$的期望操作次数才能再翻转一个未匹配字符，那么

$f_i=\frac{i}{n}\times 1+\frac{n-i}{n}\times (1+f_{i+1}+f_i)$

化简得

$f_i=\frac{n+(n-i)f_{i+1}}{i}$

当然，$f_n=1$，因为在这种情况下无论怎么翻转，都会翻转一个未匹配字符。

设当前有$k$个字符未匹配，那么答案为$f_k+f_{k-1}+\cdots +f_1$。

时间复杂度为$O(\sum n)$。当然，如果提前处理$f$数组，那么时间复杂度可以达到$O(mxn+t)$，mxn表示输入中最大的$n$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,v;
char a[1000005],b[1000005];
long long ans,f[1000005];
long long mod=998244353;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		scanf("%s%s",a,b);
		v=0;
		for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			if(a[i]!=b[i]) ++v;
		}
		f[n]=1;
		for(int i=n-1;i>=1;i--){
			f[i]=(n+(n-i)*f[i+1])%mod*mi(i,mod-2)%mod;
		}
		ans=0;
		for(int i=v;i>=1;i--){
			ans=(ans+f[i])%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}